Теория

Системы счисления
Система счисления — совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.
Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют, основанием системы счисления
 
Системы счисления
непозиционные позиционные
системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число

Виды позиционных систем счисления
 
Система счисления Основание Алфавит
Двоичная 2 0,1
Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Шестнадцатеричная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Правила перевода
  • Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады. И каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной цифрой
8 с.с 2 с.с
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
Выполнить перевод из 2 с.с. В 8 с.с.
  • 10101001,101112 = 251,568
  • 1001111110111,01112 = 11767,348
  • 1110101011,10111012 =
  • 10111001,1011001112 =
  • 1011110011100,112 =
  • 10111,11111011112 =
  • 1100010101,110012 =
 
  • Перевод чисел из 8 с.с. в 2 с.с.
Каждую цифру восьмеричного числа заменяем эквивалентной ей двоичной триадой двоичной системы счисления

Выполнить перевод из 8 с.с в 2 с.с.
  • 6778 = 1101111112
  • 745,348 = 111100101,01112
  • 1258 =
  • 2268=
  • 17008 =
  • 344,558 =
  • 0,7128 =
  • 4,368 =
 
  • Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на тетрады. И каждую такую группу заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.
16 с.с 2с.с.
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
Выполнить перевод из 2 с.с. В 16 с.с.
  • 10101001,101112 = А9,В816
  • 1001111110111,01112 = 13F7,716
  • 1110101011,10111012 =
  • 10111001,1011001112 =
  • 1011110011100,112 =
  • 10111,11111011112 =
  • 1100010101,110012 =
 
  • Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему
Каждую цифру шестнадцатеричного числа заменяем эквивалентной ей двоичной тетрадой двоичной системы счисления
Выполнить перевод из 16 с.с в 2 с.с.
  • 67716 = 0110011101112
  • 745,3416 = 011101000101,0011012
  • 12516 =
  • 2D616 =
  • 17C016 =
  • 344,5516 =
  • 0,7F216 =
  • А,3616 =


Домашнее задание. Заполнить таблицу
Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
111101,1    
  233,5  
    59,В

Перевод целых чисел из
десятичной системы счисления в любую другую систему
Правила перевода:
  1. Десятичное число последовательно делить на основание другой системы, до тех пор пока частное не окажется меньше основания.
  2. Запись получившегося числа осуществляется справа налево.
  3. Цифрами числа будут являться остатки от деления, начиная с последнего частного.
Пример















Таким образом, число 7510 = 10010112 = 1138 = 4В16
 
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему
    При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.

Пример





















Таким образом, число 0, 9610 = 0, 1111012 = 0, 753418 = 0.F5C28F16             
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, в которой записано это число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

Пример

1) переведём число 101100, 10112  из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:
101100, 1012 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20  + 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3  =
 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0, 5 + 0 + 0, 125 = 44, 62510
2) переведём число 375, 6248  из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления:
375, 6248  = 3*82 + 7*81 + 5*80 + 6*8-1 + 2*8-2 + 4*8-3 =
= 192 + 56 + 5 + 0, 75 + 0, 03125 + 0, 00781835938 = 253, 7890683593810
3) переведём число ACF, 5D16  из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления:
ACF, 5D16  = 10*162 + 12*161 + 15*160 + 5*16-1 + 13*16-2 =
= 256 + 192 + 15 + 0, 3125 + 0, 050775 = 463, 36327510

Арифметика в позиционных системах счисления
 
Сложение в 2 с.с.
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания с.с.
Пример
  • 1102+112 = 10012
  • 11112+1102 = 101012
  • 11112+1112+112 =
  • 10001101,12+111011,112 =
Решение
         110
+         11
 ------------
        1001
Сложение в 8 с.с.
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10 11 12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16
Пример
  • 178+68
  • 378+258
  • 178+78+38
  • 215,48+73,68

   
Сложение в 16 с.с.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
  

 

Koнтакт

ОГБПОУ "Костромской колледж бытового сервиса"

156019
Кострома,
Кинешемское шоссе, 23
22-05-93, 22-01-23, 22-00-03

Банк Интернет-портфолио учителей